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    <title>线性赋范空间</title>
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</head>
<body>

<h2>半范数与范数</h2>

<p class="remark">
	在本章, 我们总是讨论 `RR` 上或 `CC` 上的线性空间, 简便起见, 用记号
	`bbb P` 表示实数域或复数域.
</p>

<ol class="definition">
	设 `X` 是 `bbb P` 上的线性空间, 称实函数 `p: X to RR` 为 `X`
	上的<b>半范数</b>, 如果它满足:
	<li>次可加性. `(AA x, y in X)` `p(x+y) le p(x) + p(y)`;</li>
	<li>齐次性. `(AA x in X)` `(AA alpha in bbb P)` `p(alpha x) = |alpha|
	p(x)`.</li>
</ol>

<ol class="corollary">
	线性空间 `X` 上的半范数 `p(x)` 满足:
	<li>`p(0) = 0`;</li>
	<li>`(AA x in X)` `p(x) ge 0`;</li>
	<li>`(AA x, y in X)` `|p(x) - p(y)| le p(x - y)`.</li>
</ol>

<p class="definition">
	称线性空间 `X` 上的半范数 `p(x)` 为<b>范数</b>, 如果
	<span class="formula">
		`p(x) = 0 iff x = 0`,
	</span>
	记为 `||*||`. 称 `(X, ||*||)` 为<b>线性赋范空间</b>, 简记为 `X`.
</p>

<p class="definition">
	设 `(X, ||*||)` 是线性赋范空间, 定义
	<span class="formula">
		`d(x, y) = ||x-y||`,
	</span>
	则 `d` 是 `X` 上的度量函数, 称为<b>由范数诱导的度量</b>.
	从而线性赋范空间都是度量空间.
	设 `{x_n}` 是 `X` 上的点列, 若存在 `x in X` 使得
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) ||x_n - x|| = 0`,
	</span>
	则称 `{x_n}` 依范数收敛于 `x`.
</p>

<p class="theorem">
	线性空间 `X` 上范数诱导出的度量与 `X` 的线性结构<b>相容</b>, 即当
	`alpha_n to alpha`, `beta_n to beta`, `x_n to x`, `y_n to y` 时,
	<span class="formula">
		`alpha_n x_n + beta_n y_n to alpha x + beta y`.
	</span>
	其中 `alpha_n, alpha, beta_n, beta in bbb P`, `x_n, x, y_n, y in X`.
</p>

<h3>Minkowski 泛函</h3>

<ol class="theorem">
	设 `p(x)` 是线性空间 `X` 上的半范数. 则 `X` 上的单位球
	<span class="formula">
		`M = {x in X: p(x) le 1}`
	</span>
	满足:
	<li>`0 in M`;</li>
	<li>`M` 是 `X` 中的凸子集: `(AA x, y in M)` `(AA alpha in [0, 1])`
		`alpha x + (1-alpha) y in M`;
	</li>
	<li>`M` 是平衡的: `(AA x in M)` `(AA alpha in bbb P, |alpha| le 1)`
		`alpha x in M`;
	</li>
	<li>`M` 是吸收的: `(AA x in M)` `(EE delta gt 0)` `(AA alpha in [0,
		delta])`, `alpha x in M`;
	</li>
	<li>`p(x) = inf{alpha: alpha gt 0, alpha^-1 x in M} = Sup{alpha: alpha
		gt 0, alpha x in M}`.
	</li>
</ol>

<p class="definition">
	设 `M` 是线性空间 `X` 中吸收的凸子集, 令
	<span class="formula">
		`p_M(x) = inf{alpha: alpha gt 0, alpha^-1 x in M}`,
	</span>
	称为由 `M` 诱导出的 <b>Minkowski 泛函</b>.
</p>

<ol class="theorem">
	设 `M` 是线性空间 `X` 中吸收的凸子集, 则由 `M` 诱导出的 Minkowski 泛函
	`p_M(x)` 满足:
	<li>次可加性.</li>
	<li>正齐次性. `(AA x in X)` `(AA t gt 0)`, `p_M(t x) = t p_M(x)`;</li>
	进一步, 如果 `M` 还是平衡的, 则 `p_M(x)` 是 `X` 上的半范数.
	这表明线性空间 `X` 上的半范数与 `X` 上平衡且吸收的凸子集一一对应.
</ol>

<p class="corollary">
	设 `M` 是线性空间 `X` 上平衡且吸收的凸子集, 且满足对任意 `x in
	X\\{0}`, 存在 `alpha gt 0` 使得 `alpha^-1 x !in M`, 则由 `M` 诱导出的
	Minkowski 泛函是 `X` 上的范数.
</p>

<h2>有限维线性赋范空间, Riesz 引理</h2>

<p class="definition">
	称线性空间 `X` 上的两个范数 `||*||_1`, `||*||_2` <b>等价</b>,
	如果存在常数 `C_1, C_2 gt 0`, 使
	<span class="formula">
		`C_1 ||x||_1 le ||x||_2 le C_2 ||x||_1`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	设 `X` 是 `n` 维线性赋范空间, `bm e_1, bm e_2, cdots, bm e_n`
	是一组基, 则存在 `C_1, C_2 gt 0`, 使对任意 `bm x = sum_(i=1)^n x_i bm
	e_i in X`, 有
	<span class="formula">
		`C_1 sqrt( sum_(i=1)^n |x_i|^2 ) le ||x|| le
		 C_2 sqrt( sum_(i=1)^n |x_i|^2 )`.
	</span>
</p>

<p class="corollary">
	`n` 维实 (复) 线性赋范空间与 `RR^n` (`CC^n`) 同构且同胚.
</p>

<p class="corollary">
	有限维线性赋范空间上的任何两个范数都是等价的.
</p>

<ol class="corollary">
	由 `RR^n` 与 `CC^n` 的相关性质可得,
	<li>有限维线性赋范空间是完备可分的;</li>
	<li>线性赋范空间的有限维子空间是闭子空间;</li>
	<li>有限维线性赋范空间的任意有界子集都是列紧的.</li>
</ol>

<p class="lemma">
	<b>(Riesz 引理, 1918)</b>
	设 `M` 是线性赋范空间 `X` 的闭子空间, 且 `M != X`, 则对任意 `epsi
	gt 0`, 存在单位球面上的一点 `x_epsi in X`, `||x_epsi|| = 1`, 使得
	<span class="formula">
		`"dist"(x_epsi, M) = inf_(x in M) ||x - x_epsi|| ge 1-epsi`.
	</span>
	换言之, 记 `S = {x in X: ||x|| = 1}`, 有
	<span class="formula">
		`Sup_(x in S) inf_(y in M) ||x - y|| ge 1`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	取 `x_0 in X \\ M`. 由 `M` 为闭集知 `"dist"(x_0, M) = d gt 0`, 且存在
	`y_0 in M` 使得
	<span class="formula">
		`d le ||x_0 - y_0|| lt d/(1-epsi)`.
	</span>
	令 `x_epsi = (x_0 - y_0)/||x_0 - y_0||`, 则 `x_epsi in S`, 对任意 `x
	in M`, 有
	<span class="formula">
		` ||x_epsi - x||
		= 1/||x_0 - y_0|| || x_0 - (y_0 + ||x_0 - y_0||x) ||`.
	</span>
	注意到 `x, y_0 in M`, 故 `y_0 + ||x_0 - y_0|| x in M`. 从而
	<span class="formula">
		`||x_epsi - x|| ge d/||x_0 - y_0|| gt 1-epsi`.
	</span>
</p>

<p class="corollary">
	无穷维线性赋范空间的单位球不是列紧的.
</p>

<h2>`L^p(Omega)` 空间与 `l^p` 空间</h2>

<p class="theorem">
	<b>Hölder 不等式</b>
	设 `1 lt p, q lt oo`, `1/p + 1/q = 1`, `{x_i} in l^p`,
	`{y_i} in l^q`, 则
	<span class="formula">
		` sum_(i=1)^oo |x_i y_i|
		le (sum_(i=1)^oo x_i^p)^(1/p)
		   (sum_(i=1)^oo y_i^q)^(1/q)`.
	</span>
	设 `f in L^p[a, b]`, `g in L^q[a, b]`, 则
	<span class="formula">
		` int_a^b |f(x) g(x)| dx
		le (int_a^b |f(x)|^p dx)^(1/p)
		   (int_a^b |g(x)|^q dx)^(1/q)`.
	</span>
	在 Hölder 不等式中取 `p = q = 2` 就得到 Cauchy 不等式.
</p>

<p class="theorem">
	<b>Minkowski 不等式</b>
	设 `1 lt p lt oo`, `f, g in L^p[a, b]`, 则
	<span class="formula">
		`  (int_a^b |f(x) + g(x)|^p dx)^(1/p)
		le (int_a^b |f(x)|^p dx)^(1/p)
		   + (int_a^b |g(x)|^p dx)^(1/p)`.
	</span>
</p>

<h3>`L^p(Omega)` 空间</h3>

<p class="definition">
	设 `Omega sube RR^n` 是一个区域, `1 le p lt oo`.
	记全体在 `Omega` 上 Lebesgue 可测且 `p` 方可积,
	即 `int_Omega |f(x)|^p dx lt oo` 的函数构成 <b>`L^p(Omega)` 空间</b>.
	对任意 `f, g in L^p(Omega)` 及任意 `alpha in RR`, 令
	<span class="formula">
		`(f+g)(x) = f(x) + g(x)`,<br/>
		`(alpha f)(x) = alpha f(x)`,
	</span>
	则 `L^p(Omega)` 是线性空间. 引入范数
	<span class="formula">
		`||f|| = (int_Omega |f(x)|^p dx)^(1/p)`,
	</span>
	在 `L^p(Omega)` 中, 如果对两个几乎处处相等的函数不加区别, 则利用
	Minkowski 不等式容易证明 `||f||` 满足范数的性质.
	因此 `L^p(Omega)` 是线性赋范空间.
</p>

<p class="definition">
	称完备的线性赋范空间为 <b>Banach 空间</b>.
</p>

<p class="theorem">
	`L^p(Omega)` 是完备可分的. 亦即: `L^p(Omega)` 是可分的 Banach 空间.
</p>

<h3>`L^oo(Omega)` 空间</h3>

<p class="definition">
	设 `Omega sube RR^n` 是一个区域, `f` 是 `Omega` 上的可测函数. 称 `f`
	在 `Omega` 上<b>本性有界</b>, 如果 `f` 在 `Omega`
	上<b>几乎处处有限</b>, 即存在零测集 `E sube Omega`, 使 `f` 在 `Omega
	\\ E` 上有界. 记 `Omega` 上本性有界函数的全体为 <b>`L^oo(Omega)`
	空间</b>.
	由于有限多个零测集的并仍为零测集,
	因此有限多个本性有界函数的线性组合还是本性有界的, 从而 `L^oo(Omega)`
	按通常函数的线性运算构成线性空间. 称
	<span class="formula">
		` underset (x in Omega) "ess sup" |f(x)|
		= inf_(E sube Omega; m(E) = 0) Sup_(x in Omega \\ E) |f(x)|`
	</span>
	为 `f` 在 `Omega` 上的<b>本性上确界</b>. 显然若 `f` 有界, 则
	<span class="formula">
		`underset (x in Omega) "ess sup" |f(x)|
		= Sup_(x in Omega) |f(x)|`.
	</span>
	现在引入范数
	<span class="formula">
		`||f||_oo = underset (x in Omega) "ess sup" |f(x)|`,
	</span>
	容易验证它满足范数的条件. 因此 `L^oo(Omega)` 是线性赋范空间.
</p>

<p class="theorem">
	`L^oo` 是完备的 (即它是 Banach 空间),
	但 `m(Omega) gt 0` 时它是不可分的.
</p>

<p class="definition">
	设 `1 le p lt oo`.  记全体 `p` 方收敛,
	即 `sum_(i=1)^oo |x_i|^p lt oo` 的数列 `x = {x_i}` 构成 `l^p` 空间.
</p>

<h2>Hahn-Banach 定理</h2>

<p class="definition">
	设 `X` 是数域 `bbb P` 上的线性赋范空间. 称映射 `f: X to bbb P`
	为<b>线性泛函</b>, 如果它是线性的, 即
	<span class="formula">
		`(AA x, y in X)` `(AA alpha, beta in bbb P)`
		`f(alpha x + beta y) = alpha f(x) + beta f(y)`.
	</span>
	进一步, 如果还存在 `M gt 0`, 使得
	<span class="formula">
		`(AA x in X)` `|f(x)| le M ||x||`,
	</span>
	则称 `f` 是 `X` 上的<b>有界线性泛函</b>.
	称 `X` 上全体有界线性泛函构成 `X` 的<b>对偶空间</b>或<b>共轭空间</b>,
	记为 `X^**`.
	对任意 `f, g in X^**`, `alpha, beta in bbb P`, 令
	<span class="formula">
		`(alpha f + beta g)(x) = alpha f(x) + beta g(x)`, `AA x in X`,
	</span>
	则 `X^**` 也构成线性空间. 对 `AA f in X^**`, 引入范数
	<span class="formula">
		`||f|| = Sup_(||x|| le 1) |f(x)|`,
	</span>
	容易验证它满足范数的性质, 因此 `X^**` 为线性赋范空间.
</p>

<p class="remark">
	`X^**` 的范数的一个等价定义为
	<span class="formula">
		`||f||_1 = Sup_(||x|| = 1) |f(x)|`.
	</span>
	容易看出对任意 `f in X^**`, `||f||_1 le ||f||`.
	反之, 对任意 `x in X`, `||x|| le 1` 有
	<span class="formula">
		`|f(x)| = |f(x/||x||)| ||x|| le ||f||_1 ||x|| le ||f||_1`,
	</span>
	于是 `||f|| le ||f||_1`, 综上有 `||f|| = ||f||_1`.
</p>

<p class="corollary">
	`(AA f in X^**)` `(AA x in X)` `|f(x)| = |f(x/||x||)| ||x|| le ||f||
	* ||x||`.
</p>

<p class="corollary">
	设 `X` 为线性赋范空间, `f in X^**`, 若 `||f|| le M`, 则
	<span class="formula">
		`(AA x in X) |f(x)| le ||f|| * ||x|| le M||x||`;
	</span>
	反之, 由 `f` 是 `X` 上的有界线性泛函知存在 `M_1 gt 0`,
	<span class="formula">
		`(AA x in X)` `|f(x)| le M_1 ||x||`,
	</span>
	限制 `||x|| le 1`, 取上确界得
	<span class="formula">
		`||f|| le M_1 ||x|| le M_1`.
	</span>
</p>

<p class="corollary">
	有界线性泛函必连续. 这是因为对任意 `x` in `XX` 和 `x_n to x`,
	<span class="formula">
		`|f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)| le ||f|| * ||x_n - x||`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	设 `X` 是线性赋范空间, 则 `X^**` 为 Banach 空间.
</p>

<p class="lemma">
	设 `X` 是线性赋范空间, `Y` 是 `X` 的稠密子空间, `f in Y^**`,
	则存在唯一 `F in X^**`, 使得 `F|_Y = f`, 即 `(AA x in Y)`
	`F(x) = f(x)`.
</p>

<div class="theorem">
	<b>(Banach 延拓定理, 1929)</b>
	设 `X` 是实线性空间, `Y` 是 `X` 的线性子空间, `p(x)` 是 `X`
	上次可加和正齐次的实函数, 即 `p(x)` 满足:
	<ol>
		<li>`(AA x, y in X)` `p(x+y) le p(x) + p(y)`;</li>
		<li>`(AA x in X)` `(AA t gt 0)` `p(t x) = t p(x)`.</li>
	</ol>
	设 `f` 是 `Y` 上的实线性泛函, 且满足
	<span class="formula">
		`(AA x in Y)` `f(x) le p(x)`,
	</span>
	则存在 `X` 上的实线性泛函 `F(x)` 使成立
	<ol>
		<li>`F|_Y = f`;</li>
		<li>`(AA x in X)` `F(x) le p(x)`.</li>
	</ol>
	即 `F` 为 `f` 在 `X` 上由 `p(x)` 控制的线性延拓.
</div>

<p class="corollary">
	在 Banach 延拓定理中, 若 `f` 为有界线性泛函, 则 `F` 为 `f`
	的有界线性延拓. 事实上取 `p(x) = M ||x||`, 则
	<span class="formula">
		`F(x) le M ||x||`,<br/>
		`-F(x) = F(-x) le M||-x|| = M||x||`.
	</span>
	从而 `|F(x)| le M||x||`.
</p>

<div class="theorem">
	<b>(Bohnenblust-Sobczyk 复延拓定理, 1938)</b>
	设 `X` 是复线性空间, `Y` 是 `X` 的线性子空间,
	`p(x)` 是 `X` 上的半范数, `f` 是 `Y` 上的线性泛函, 使得
	<span class="formula">
		`(AA x in Y)` `|f(x)| le p(x)`,
	</span>
	则存在 `X` 上的线性泛函 `F(x)` 使得
	<ol>
		<li>`F|_Y = f`;</li>
		<li>`(AA x in X)` `|F(x)| le p(x)`.</li>
	</ol>
</div>

<p class="theorem">
	<b>(Hahn-Banach, 1927)</b>
	设 `X` 是线性赋范空间, `Y` 是 `X` 的线性子空间, `f in Y^**`, 则存在
	`F in X^**`, 使得
	<span class="formula">
		`F|_Y = f`, 且 `||F||_X = ||f||_Y`.
	</span>
	称 `F` 为 `f` 的<b>保范线性延拓</b>.
</p>

<ol class="corollary">
	设 `X` 是线性赋范空间, 则对任意 `x_0 in X \\ {0}`, 存在 `f in X^**`,
	满足
	<li>`||f|| = 1`;</li>
	<li>`f(x_0) = ||x_0||`.</li>
</ol>

<ol class="corollary">
	设 `X` 是线性赋范空间, `Y` 是 `X` 的闭线性子空间, 且 `Y != X`.
	则对任意 `x_0 in X \\ Y`, 存在 `f in X^**`, 满足
	<li>`f|_Y -= 0`;</li>
	<li>`||f|| = 1`;</li>
	<li>`f(x_0) = "dist"(x_0, Y) gt 0`.</li>
</ol>

<p class="theorem">
	设 `X` 是线性赋范空间, `f in X^**`, 则 `"Ker" f = {x in X: f(x) = 0}`
	是 `X` 的闭子空间. 进一步若 `f !-= 0`, 即 `"Ker" f != X`, 则对任意
	`x_0 in X \\ "Ker" f`, 有
	<span class="formula">
		`X = "Ker" f + "span"{x_0}`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	<b>(Mazur 凸集隔离性定理, 1933)</b>
	设 `K` 是实线性赋范空间 `X` 的闭凸子空间, `x_0 !in K`, 则存在常数 `r`
	以及 `f in X^**` 使得
	<span class="formula">
		`f(x_0) gt r`,<br/>
		`f(x) le r`, `x in K`.
	</span>
</p>

<h2>有理数域的完备化</h2>

<h3>Cantor 实数理论</h3>

<p>	从 `QQ` 上 Cauchy 列的等价类出发</p>

<h2>`L^p[a, b]`, `l^p` 的对偶空间表示</h2>

<p class="theorem">
	设 `1 lt p lt oo`, `1/p + 1/q = 1`,
	`f` 是 `L^p[a, b]` 上的有界线性泛函, 则存在唯一的函数
	`y in L^q[a, b]`, 使对任意 `x in L^p[a, b]`, `f(x)` 可以表为
	<span class="formula">
		`f(x) = int_a^b x(t) y(t) dt`,<br/>
		`||f|| = ||y||_(L^q[a, b])`.
	</span>
	即存在 `(L^p[a, b])^**` 到 `L^q[a, b]` 的保范映射.
	反过来, 对任意固定的 `y in L^q[a, b]`, `f(x) = int_a^b x(t) y(t) dt` 
	定义了 `L^p[a, b]` 上的有界线性泛函.
	因此, 存在从 `(L^p[a, b])^**` 到 `L^q[a, b]` 的保范同构.
</p>

<p class="theorem">
	设 `X` 是线性赋范空间. 若 `X^**` 可分, 则 `X` 也可分.
</p>

<p class="corollary">
	因为 `L^oo[a, b]` 不可分, 而 `L^1[a, b]` 可分, 故 `L^oo[a, b]`
	的对偶空间不可能保范同构于 `L^1[a, b]`. 同理 `l^oo` 不可能保范同构于
	`l^1`.
</p>

<h2>Banach 空间的自反性</h2>

<p class="definition">
	设 `X` 是线性赋范空间, `X^**` 是 `X` 的对偶空间. 称 `X^**` 的对偶空间
	`(X^**)^**` 为 `X` 的<b>二次对偶空间</b>, 记为 `X^(** **)`.
	类似可以定义更高次的对偶空间.
</p>

<p class="definition">
	设 `X` 是线性赋范空间, 称映射 `tau: X to X^(** **)`,
	`tau(x) = x^(** **)`
	为 `X` 到 `X^(** **)` 的<b>典型映射</b>, 其中
	<span class="formula">
		`x^(** **)(f) = f(x)`, `f in X^**`.
	</span>
</p>

<p class="corollary">
	典型映射是保范线性映射, 因而是单射, 也是连续映射. 若典型映射还是满射,
	可以证明它是同胚映射, 从而是 `X` 到 `X^(** **)` 的保范同构.
</p>

<p class="definition">
	设 `X` 是 Banach 空间. 称 `X` 为<b>自反的</b>, 如果 `X` 到 `X^(** **)`
	的典型映射为一满射, 即 `tau(X) = X^(** **)`.
</p>

<p class="remark">
	存在这样的 Banach 空间 `X`, 它与 `X^(** **)` 保范同构, 但 `tau(x)`
	不为满射, 即 `X` 不是自反的.
</p>

<p class="theorem">
	有限维线性赋范空间是自反的.
</p>

<p class="theorem">
	设 `1 lt p lt oo`, 则 `L^p[a, b]` 是自反的.
</p>

<p class="theorem">
	自反的 Banach 空间的闭子空间也是自反的.
</p>

<h2>序列弱收敛与弱*收敛</h2>

<p class="definition">
	设 `X` 是 Banach 空间, `{x_n} sube X`. 如果存在 `x in X`, 使
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) f(x_n) = f(x)`, `AA f in X^**`,
	</span>
	则称 `{x_n}` <b>弱收敛</b>于 `x`, 记为 `x_n &#8640; x` 或 `x_n overset
	w to x`.
</p>

<p class="corollary">
	由于有界线性泛函必连续, 所以 `x_n to x` 蕴含 `x_n &#8640; x`,
	但反之不然.
</p>

<p class="definition">
	设 `{x_n}` 为线性空间上的点列, `N in ZZ^+`, `0 le lambda_n le 1`,
	`n = 1, 2, cdots, N` 且 `sum_(n=1)^N lambda_n = 1`, 则称
	<span class="formula">
		`sum_(n=1)^N lambda_n x_n`
	</span>
	为 `{x_n}` 的一个<b>凸组合</b>. 用 `"Co"{x_n}` 表示 `{x_n}`
	的全体凸组合, 其中的 `N` 不必相同.
</p>

<p class="theorem">
	设 `X` 是 Banach 空间. 如果序列 `{x_n} sube X` 弱收敛于
	`x in X`, 则 `x in bar("Co"{x_n})`.
</p>

<p class="definition">
	设 `X` 是 Banach 空间, `{f_n} sube X^**`. 如果存在 `f in X^**`, 使
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) f_n(x) = f(x)`, `AA x in X`,
	</span>
	则称 `{f_n}` <b>弱*收敛</b>于 `f`, 记为 `f_n overset ** to f`.
</p>

<p class="corollary">
	当 `X` 是自反的 Banach 空间时, `X` 到 `X^(** **)` 存在保范同构, 从而
	`{x_n} sube X` 的弱收敛与 `{x^(** **)} sube X^(** **)`
	的弱*收敛是等价的.
</p>

<p class="definition">
	称 Banach 空间 `X` 的子集 `A` 为<b>弱列紧</b>的, 如果 `A`
	中任意点列都有弱收敛的子列; 称 Banach 空间 `X` 的对偶空间 `X^**`
	的子集 `A` 为<b>弱*列紧</b>的, 如果 `A` 中任意点列都有弱*收敛的子列.
</p>

<p class="theorem">
	设 `X` 是可分的 Banach 空间, 则 `X^**` 的有界集是弱*列紧的.
</p>

<p class="theorem">
	<b>(Pettis, 1938)</b>
	自反的 Banach 空间中的有界集是弱列紧的.
</p>

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</body>
</html>
